2024华东杯数学建模

Beaten2024-04-302025-02-17

A题比赛出场顺序问题

排列组合，组合优化，模拟

第一问最优出场顺序

(1)确定我方球员的最优出场顺序，以便在对抗固定对方出场顺序（B1, B2, B3, B4, B5）时达到最高的胜率。
我们需要将提供的历史对抗数据（表A-1）转化为更易于分析的格式，每个对抗组合的胜负统计。

(2)对每个我方可能的双打组合与对方的双打组合的胜率进行计算。这涉及到统计每种组合在历史对抗中的胜利次数和总比赛次数，然后计算胜率。

(3)模拟所有可能的出场顺序
由于问题涉及到在一个既定对方出场顺序下的最优我方出场顺序，可以通过穷举法来处理：

使用排列组合生成我方所有可能的出场顺序。
为每个可能的出场顺序计算预期的胜率。

(4)选择最优顺序
通过比较所有可能出场顺序的总胜率，选择胜率最高的出场顺序

综上，第一问的步骤就是先整理数据->计算每个组合的胜率->穷举所有可能的出场顺序

多句嘴，去年校赛就有一道类似的题，难绷^^

第二问针对对抗策略的模拟

对于问题2中的动态调整策略，可以使用蒙特卡洛模拟来评估不同出场顺序对胜率的影响。通过大量模拟随机的比赛结果，可以统计在不同对手策略下的胜率分布。

这里提到蒙特卡洛模拟

蒙特卡洛模拟

蒙特卡洛模拟可以用来评估不同出场顺序对比赛结果的影响，当对手采用针对你们的原计划顺序的最优策略时，评估不同调整策略的有效性。

** 如何使用蒙特卡洛模拟解决问题 **

1.定义问题和参数：

定义每个球员之间的对抗胜率。这些胜率可以基于历史数据或假设数据。
确定对手的三种可能的最优出场顺序。

2.模拟比赛过程：

对于每种可能的我方出场顺序，模拟与对方三种顺序的多次比赛。
在每次模拟中，根据设定或估计的胜率来随机决定比赛的胜负。

3.统计分析：

计算每种我方出场顺序在模拟中对抗每种对方顺序时的平均胜率。
汇总统计数据，找出平均胜率最高的出场顺序。

4.优化策略：

基于模拟结果优化我方出场顺序。
可能需要多次迭代，调整胜率参数或测试不同的出场顺序。

python代码

import random
from itertools import permutations
# 假设胜率矩阵，这里需要实际数据或合理假设来填充
win_probability = {
    ('A1', 'B1'): 0.6, ('A1', 'B2'): 0.5, # 更多假设数据...
}
# 对手的顶级三种顺序
opponent_orders = [('B1', 'B2', 'B3', 'B4', 'B5'),
                   ('B2', 'B3', 'B4', 'B5', 'B1'),
                   ('B3', 'B4', 'B5', 'B1', 'B2')]

# 我方球员
players = ['A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5']

def simulate_match(player, opponent):
    # 基于胜率随机决定胜负
    return random.random() < win_probability.get((player, opponent), 0.5)

def simulate_order(my_order, opponent_order):
    score = 0
    for i in range(5):
        if simulate_match(my_order[i], opponent_order[i]):
            score += 1
    return score

# 模拟每个可能的出场顺序
best_order = None
highest_average_score = 0

for my_order in permutations(players):
    total_score = 0
    for opp_order in opponent_orders:
        score = simulate_order(my_order, opp_order)
        total_score += score
    
    average_score = total_score / len(opponent_orders)
    if average_score > highest_average_score:
        highest_average_score = average_score
        best_order = my_order

print("Best my order against top opponent orders:", best_order)
print("Highest average score:", highest_average_score)

ok这里还有其他选择，例如运筹学中的博弈论，遗传算法，时间原因不过多赘述。自己选择~

第三问稳定性分析

第三个问题考虑了新的变化，即新增两名选手（A6和B6），并探索是否存在一种稳定的出场顺序，使得无论对方如何调整出场顺序，我方的胜率都保持较高。这涉及到组合优化和策略的稳定性分析。下面是解决这个问题的建议方法：

步骤 1：数据整理与分析

首先，将包括新选手的对抗数据整理并分析，以评估新选手与现有队员相比的表现。这包括对表A-2中的数据进行详细分析，计算各种组合的胜率。

步骤 2：模拟所有可能的组合

由于现在每队有六名选手，可以从中选择五名出场。这意味着需要考虑所有从六名选手中选择五名的组合，这可以通过组合公式 ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!})

(逆天。。。怎么敲不出来公式)，其中 ( n ) 是总选手数，( k ) 是出场选手数。

步骤 3：搜索稳定的出场顺序

对每种可能的我方和对方组合进行模拟，确定在所有对方可能组合中，哪些我方组合具有较高的平均胜率。这涉及到对每种我方组合在面对所有对方组合时的胜率进行平均，并找出平均胜率最高的组合。

步骤 4：稳定性检验

验证选出的组合是否真的对多种对方组合都有效。这可以通过更广泛的模拟，包括随机生成对方组合，来检验。

Python代码

import itertools
import random

# 假设胜率数据结构，这需要根据实际数据填充
win_probability = {
    ('A1', 'B1'): 0.6, # 添加所有可能的对抗和胜率
    # 添加包含A6和B6的胜率
}

# 所有球员
a_players = ['A1', 'A2', 'A3', 'A4', 'A5', 'A6']
b_players = ['B1', 'B2', 'B3', 'B4', 'B5', 'B6']

def simulate_match(player, opponent):
    """模拟比赛结果，返回胜利为True，失败为False"""
    return random.random() < win_probability.get((player, opponent), 0.5)

def evaluate_sequence(a_sequence, b_sequence):
    """评估给定序列的胜率"""
    wins = 0
    total = 0
    for a, b in zip(a_sequence, b_sequence):
        if simulate_match(a, b):
            wins += 1
        total += 1
    return wins / total

best_order = None
highest_average_win_rate = 0

# 遍历所有可能的我方出场顺序
for a_order in itertools.permutations(a_players, 5):
    total_win_rate = 0
    count = 0

    # 遍历所有可能的对方出场顺序
    for b_order in itertools.permutations(b_players, 5):
        win_rate = evaluate_sequence(a_order, b_order)
        total_win_rate += win_rate
        count += 1

    average_win_rate = total_win_rate / count
    if average_win_rate > highest_average_win_rate:
        highest_average_win_rate = average_win_rate
        best_order = a_order

print("Best stable order against any opponent order:", best_order)
print("Highest average win rate:", highest_average_win_rate)

核心就是稳态分析吧，最好是二三题用一样的模型，上面提到了供你选择的模型，比如蒙特卡洛模拟，博弈论，遗传算法。

B题自动驾驶中的转弯问题

4.30 23:37修改

这个b题是改编题，在互联网上可以找到许多可供借鉴的资料，相对于A题可能更容易一点。

物理+数学

第一问 建立转弯的数学模型

动力学模型：

车辆的转向：单轨模型或多轨模型。物理学中的各种力，牵引力、侧向力、摩擦力。
同时需要考虑车辆的前轮转向角度对车辆路径的影响。

肯定要写方程-
Ackermann：基于前轮的转向角和车辆的几何尺寸，计算理论转弯半径。放个链接

第一个

第二个

第二问车辆的具体位置计算

用matlab或者python做仿真| 画图

时间步进模拟：

基于第一部分建立的模型，进行时间步进仿真，以计算每隔0.1秒车辆的位置。这可能包括计算车辆的速度向量、加速度以及转向过程中的路径。

路径跟踪：

计算车辆转弯过程中的路径，使用数学方程（如参数方程）描述车辆中心以及车轮的具体位置。

问题三转弯角度与停车位置的计算
同上的思路

C T

基于MACD指标的交易策略问题，目标是构建一个交易系统，使用MACD指标分析给定数据，并计算相关的量化指标，如胜率、赔率、频率、最大收益、年化收益率、夏普比率和最大回撤。以下是解决这个问题的步骤和方法：

1. 理解和计算MACD指标

计算DIF和DEA：
- DIF：短期（通常为12天）指数移动平均线（EMA）与长期（通常为26天）EMA之间的差异。
- DEA：DIF的指数移动平均线，通常是9天期。
- MACD Histogram：DIF与DEA之差的两倍，用于显示买卖动量。

2. 交易策略的制定

基本规则：
- 买入信号：当DIF从下向上穿越DEA时。
- 卖出信号：当DIF从上向下穿越DEA时。
- 其他信号：考虑使用MACD的高点和低点之间的背离，作为市场即将反转的预警信号。

3. 量化交易系统的构建

数据处理：清洗和准备交易数据，确保数据质量。
交易模拟：基于历史数据模拟交易，记录每次交易的开仓和平仓时间、价格等详细信息。
性能评估：
- 胜率：成功交易占总交易的比例。
- 赔率：平均每次赢利与每次亏损的比率。
- 频率：交易的频繁程度。
- 最大收益和最大回撤：最大盈利和在特定时间内可能的最大亏损。
- 年化收益率：将收益率转换为年度收益率。
- 夏普比率：风险调整后的收益，衡量每单位风险的收益。

4. 改进和优化

参数调整：尝试不同的EMA参数，如调整短期和长期EMA的天数，优化交易性能。
机器学习应用：利用机器学习算法（如随机森林、支持向量机）分析指标和市场条件，优化买卖信号的判断。
经验分析：从实证结果和投资交易逻辑两方面对MACD指标的实用性进行分析。

5. 软件工具和编程

Python：使用Pandas进行数据处理，使用NumPy进行数学计算，Matplotlib和Seaborn用于数据可视化。
回测平台：如QuantConnect或Backtrader，进行策略的回测和评估。

这个问题的解决涉及到较为复杂的数据处理和数学建模，需要准确理解MACD指标的计算方法和交易策略的逻辑。如果你需要进一步的指导，例如如何编写计算MACD的Python代码或者如何进行策略的回测，我可以提供详细的帮助和示例代码。

A题 比赛出场顺序问题

第一问 最优出场顺序

第二问 针对对抗策略的模拟